5.3. Влияние поперечной деформации εу на профиль продольной скорости

Вертман [139, 140, приложение] рассмотрел частный случай трехмерной деформации в шельфовом леднике. Для двухмерного случая, т. е. при нулевой боковой деформации _у = 0,

Вертман получил

(1)

а для случая шельфового ледника, расширяющегося одинаково во всех горизонтальных направлениях (три измерения), -

(2)

Заметим, что

и, поскольку при n ≈ 4, получаем интересный результат - скорость продольной деформации для данного девиатора напряжения уменьшается при наличии равного бокового растяжения при малых значениях n (<4), в то же время при больших значениях n скорость должна возрастать.

Теперь рассмотрим влияние на скорость продольной деформации _х скорости произвольной поперечной деформации _у. Примем закон течения в виде

(4)

где

(5)

(6)

(7)

здесь τ - эффективное напряжение сдвига, равное октаэдрического напряжения сдвига, А и n - параметры степенного закона течения.

Теперь необходимо определить скорость деформации _х выраженную через продольные и вертикальные напряжения σ_х, σ_z и скорость поперечной деформации _у. Из выражений (4) и (5) получаем

(8)

Значение σ_у находим по формулам:

(9)

(10)

Следовательно

(11)

Подставив это выражение в уравнение (8), получаем

или

Затем, чтобы получить значение λ из выражения (6), надо определить сначала величину τ из уравнения (7), для чего необходимы девиаторы напряжения.

Решая уравнения (4) и (12), находим

(13)

аналогично-

(14)

и

(15)

Отсюда, по формуле (7), получаем

(16)

Теперь запишем скорость боковой деформации как некоторую часть (скажем, γλ) от разности напряжений σ_х - σ_у, т. е.

Тогда из уравнения (12) следует

(18)

а из уравнения (16) -

(19)

или

(20)

Заменим этим выражением параметр τ в уравнении (6), чтобы получить величину λ, которую мы можем подставить в формулу (18) для скорости продольной деформации:

(21)

Поскольку мы хотим знать соотношение между скоростью продольной деформации _х и разностью напряжений σ^х - σ_z для данной скорости поперечной деформации _у, которая составляет некоторую часть (скажем, ν) от скорости продольной деформации, запишем

(22)

тогда из выражения (12) получим

(23)

Сравнивая это выражение с уравнением (18), видим, что параметры γ и ν связаны между собой одним из следующих соотношений:

(24)

Затем, наконец, исходя из выражений (24) и (21), скорость деформации можно записать в виде

(25)

где

(26)

или

(27)

где φ - функция поперечной деформации.

Таблица 5.1

По аналогии с уравнением (1) для двух измерений, где скорость боковой деформации равна нулю, для скорости боковой деформации, которая в ν раз больше скорости продольной деформации, имеем

(28)

Другими словами, если поперечная деформация y = νεx существует, то можно учесть ее влияние, вводя величину φ1/nε1/nx вместо 1/nx.

Таблица 5.2

Значения функций φ и φ^1/_n при различных значениях ν и n приведены в табл. 5.1 и 5.2. Они иллюстрируются рис. 5.1 и 5.2. По данным таблиц видно, что для закона течения при n, равном 3 или 4, наличие скорости боковой деформации не вызывает существенных изменений. Даже значения ν, составляющие +1, +2, + 3, вызывают лишь небольшие изменения при больших значениях n. При n, равном 1 или 2, отклонения становятся более значительными.

Рис. 5.1. Зависимость функции φ(ν, n) поперечной деформации от величин ν и n

Однако, когда боковая деформация имеет обратный знак, отклонения становятся очень существенными. В частности, для ν = -2 находим, что разность продольных напряжений равна нулю. Это прямо следует из условия неразрывности для несжимаемой среды:

и, если

то

т. е. скорость продольной деформации может существовать даже при σ_х - σ_z = 0.

Это означает, что при ν = -2 боковое движение преобладает над продольным и вызывает равные вертикальные и продольные деформации, приводящие к сохранению объема. При больших отрицательных значениях ν (-3, -4, . . .) разность средних продольных напряжений имеет знак, противоположный знаку скорости продольной деформации.

Таким образом, наше общее уравнение движения для трех измерений теперь может быть записано в виде

(29)

Кроме того, мы можем связать продольный наклон α со скоростью продольной деформации _х и учесть влияние функции поперечной деформации φ. Рассмотрение следствий этого для некоторых типов масс льда будет осуществлено в разделе 6.