§ 2.2 Классификация проекций по виду меридианов и параллелей нормальной сетки

В картографической практике распространена классификация проекций по виду вспомогательной геометрической поверхности, которая может быть использована при их построении. С этой точки зрения выделяют проекции: цилиндрические, когда вспомогательной поверхностью служит боковая поверхность цилиндра, касательного к эллипсоиду, или секущего эллипсоид; конические, когда вспомогательной плоскостью является боковая поверхность касательного или секущего конуса; азимутальные, когда вспомогательная поверхность - касательная или секущая плоскость.

Геометрическое построение названных проекций отличается большой наглядностью. Для простоты рассуждения вместо эллипсоида воспользуемся шаром.

Заключим шар в цилиндр, касательный по экватору (рис. 2.3, а). Продолжим плоскости меридианов ПА, ПБ, ПВ, ... и примем пересечения этих плоскостей с боковой поверхностью цилиндра за изображение на ней меридианов. Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей аАа₁ и развернуть ее на плоскость, то меридианы изобразятся параллельными равноотстоящими прямыми линиями аАа₁, бБб₁, вВв₁ ..., перпендикулярными экватору АБВ. Изображение параллелей может быть получено различными способами. Один из них - продолжение плоскостей параллелей до пересечения с поверхностью цилиндра, что даст а развертке второе семейство параллельных прямых линий, перпендикулярных меридианам.

Рис. 2.3. Построение картографической сетки в равновеликой цилиндрической проекции

Полученная цилиндрическая проекция (рис. 2.3, б) окащывается равновеликой, так как боковая поверхность шарового пояса АЕДГ, равная 2πRh (где h - расстояние между плоскостями АГ и ЕД), соответствует площади изображения этого пояса в развертке. Главный масштаб сохраняется вдоль экватора; частные масштабы по параллели увеличиваются, а по меридианам уменьшаются по мере удаления от экватора.

Другой способ определения положения параллелей основан на сохранении длин меридианов, т. е. на сохранении главного масштаба вдоль всех меридианов. В этом случае цилиндрическая проекция равно-промежуточна по меридианам (см. рис. 2.2,6).

Для равноугольной цилиндрической проекции необходимо в любой точке постоянство масштаба по всем направлениям, что требует увеличения масштаба вдоль меридианов по мере удаления от экватора в соответствии с увеличением масштабов вдоль параллелей на соответствующих широтах (см. рис. 2.2, в). Нередко вместо касательного цилиндра используют цилиндр, секущий шар по двум параллелям (рис. 2.4), вдоль которых при развертке сохраняется главный масштаб. В этом случае частные масштабы вдоль всех параллелей между параллелями сечения будут меньше, а на остальных параллелях - больше главного масштаба.

Рис. 2.4. Цилиндр, секущий шар по двум параллелям

Для построения конической проекции заключим шар в конус, касающийся шара по параллели АБВГ (рис. 2.5, а).

Рис. 2.5. Построение картографической сетки в равнопро-межуточной конической проекции

Аналогично предыдущему построению продолжим плоскости меридианов ПА, ПБ, ПВ, ... и примем их пересечения с боковой поверхностью конуса за изображение на ней меридианов. После развертки боковой поверхности конуса на плоскости (рис. 2.5, б) меридианы изобразятся радиальными прямыми ТА, ТБ, ТВ,..., исходящими из точки Г, причем углы между ними будут пропорциональны (но не равны) разностям долгот. Вдоль параллели касания АБВ (дуги окружности радиусом ТА) сохраняется главный масштаб.

Рис. 2.6. Построение картографической сетки в азимутальной проекции

Рис. 2.7. Эмблема ООН - равнопромежуточная азимутальная проекция

Положение других параллелей, изображающихся дугами концентрических окружностей, можно определить из разных условий, одно из которых - сохранение главного масштаба вдоль меридианов (АЕ=Ае) - приводит к конической равнопромежуточной проекции. Для построения азимутальной проекции воспользуемся плоскостью, касательной к шару в точке полюса П (рис. 2.6).

Рис. 2.8 Картографическая сетка в одной из псевдоцилиндрических проекций (с изоколами углов)

Рис. 2.9. Картографическая сетка в одной из псевдоконических проекций

Рис. 2.10. Картографическая сетка в одной из поликонических проекций (с изоколами углов)

Пересечения плоскостей меридианов с касательной плоскостью дают изображение меридианов Па, Пе, Пв,... в виде прямых, углы между которыми равны разностям долгот. Параллели, являющиеся концентрическими окружностями, могут быть определены различным путем, например, проведены радиусами, равными выпрямленым дугам меридианов от полюса до соответствующей параллели ПА=Па. Такая проекция равнопромежуточна по меридианам и сохраняет вдоль них главный масштаб. Например, эта проекция использована на эмблеме ООН (рис. 2.7).

Проекция, при построении которых оси цилиндра и конуса совмещались с полярной осью земного шара, а плоскость размещалась касательно в точке полюса, называются нормальными.

К нормальным по виду сетки относят также проекции: псевдоцилиндрические, у которых параллели - прямые, параллельные друг другу, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (рис. 2.8); псевдоконические, где параллели - дуги концентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (рис. 2.9); поликонические,параллели которых - дуги эксцентрических окружностей с центрами на среднем прямолинейном меридиане а меридианы - кривые' симметричные относительно среднего меридиана (рис. 2-Ю), а также некоторые Другие, рассматриваемые в курсе математической картографии.

Рис. 2.11. Положение цилиндра при поперечной (а) и косой (б) цилиндрических проекциях

Для цилиндрических и азимутальных проекций наряду с нормальной широко используют другие ориентировки цилиндра и плоскости: поперечные, когда ось цилиндра лежит в плоскости экватора (рис. 2.11 а), а плоскость касается шара в одной из точек экватора; косые, когда ось цилиндра (рис. 2.11, б) образует с полярной осью острый угол, а плоскость касается шара в какой-либо точке между полюсом и экватором.

Вообще говоря, сетки меридианов и параллелей в поперечных и косых цилиндрических и азимутальных проекциях образуются кривыми линиями, и потому классификация проекций по виду меридианов и параллелей производится применительно к нормальным сеткам.

Среди азимутальных проекций выделяют перспективные, получаемые проектированием поверхности шара на плоскость по закону перспективы посредством лучей из точки зрения, располагаемой на прямой, проходящей через центр шара и перпендикулярной плоскости касания (картинной плоскости). В частности, различают перспективные проекции: ортографические, когда точка зрения удалена в бесконечность и проектирование производится пучком параллельных лучей (рис. 2.12); в этой проекции мы практически видим поверхность Луны; в ней изображен земной шар на гербе СССР; стереографические, когда точка зрения располагается на поверхности шара и диаметрально противоположна точке касания картинной плоскости, стереографическая проекция равноугольна; любая окружность на поверхности шара изображается в этой проекции также окружностью; гномонические, когда точка зрения находится в центре шара; в этой проекции дуги всех больших кругов шара изображаются прямыми линиями.

Проекции, которые по виду сетки не подходят под рассмотренные, называются условными.

Рис. 2.12. Построение картографической сетки в поперечной ортографической проекции: в правой части рисунка - проектирование пучком параллельных лучей на картинную плоскость КК, перпендикулярную плоскости рисунка; в левой - разворот картинной плоскости

В практике современной картографии сетки получаются не посредством геометрических построений, а расчетным, аналитическим путем. В результате вычислений по формулам проекции определяют прямоугольные координаты пересечений меридианов и параллелей (узловых точек сетки), величину и распределение искажений; наносят узловые точки сетки и по ним проводят меридианы и параллели.

В настоящее время для изыскания и вычисления картографических проекций широко используются электронно-вычислительные машины и автоматическое построение сеток на графопостроителях - чертежных машинах автоматического действия.

Имеется сводка с подробными справочными данными о проекциях и других элементах математической основы советских карт (См.: Гинзбург Г. А., Карпов Н. С, Салманова Т. Д. Математическая картография в СССР, ч. 1. Исторический очерк и справочные данные//Тр. ЦНИИГАиК, 1955, вып. 99. С. 88-183.). В ней для каждой проекции указаны характер искажений, ее параметры и во многих случаях помещены чертежи проекции с изоколами искажений площадей р и углов сэ (см. § 2.3). Для выбора картографических проекций опубликован специальный атлас (См.: Гинзбург Г. А., Салманова Т. Д. Атлас для выбора картографических проекций//Тр. ЦНИИГАиК, 1957, вып. 110. 237 с.).