Глава II. Движение оси вращения Земли в пространстве и в теле самой Земли

Геометрическая интерпретация явлений прецессии и нутации

Напомним несколько очевидных положений, на которые в дальнейшем будем ссылаться.

Под термином сила будем подразумевать равнодействующую сил притяжения, приложенных к материальным частицам притягиваемого тела. Сила может сообщить телу только поступательное движение: вращение около оси или точки происходит под действием пары сил. Парой сил называется система двух равных параллельных, не лежащих на одной прямой сил, направленных в противоположные стороны. Момент пары сил равен произведению одной из сил на плечо; плечо - расстояние между линиями действия сил. Момент пары - вектор - перпендикулярен плоскости действия пары сил; он считается положительным, если пара вращает плечо против часовой стрелки.

Прецессия и нутация вызываются Луной и Солнцем, действующими на экваториальное утолщение Земли. Прецессии и нутации не было бы, если бы Луна и Солнце всегда находились в плоскости экватора. В этом случае сила притяжения Луны проходила бы через центр Земли, возмущая только ее поступательное движение, определяемое притяжением Солнца. Во всех других случаях Луна и Солнце, притягивая экваториальное утолщение Земли, создают две пары сил. Каждая из этих пар лежит в плоскости того меридиана Земли, где в данный момент светило находится в кульминации. Момент каждой из пар лежит в плоскости экватора Земли.

Изобразим Землю (рис. 6) так, чтобы плоскость экватора Земли совпадала с плоскостью небесного экватора. Рассмотрим действие силы притяжения Солнца на Землю в моменты весеннего и осеннего равноденствий, когда долгота Солнца равна нулю или 180°. В этом случае сила притяжения Земли Солнцем лежит на прямой пересечения плоскостей экватора и эклиптики, т. е. в плоскости симметрии экваториального утолщения Земли, и проходит, следовательно, через центр Земли. Она возмущает только поступательное движение Земли вокруг Солнца, но никакого вращения (смещения) оси вращения Земли не вызовет; здесь пары сил нет.

Рассмотрим теперь действие силы притяжения Солнца в момент летнего или зимнего солнцестояний, когда долгота Солнца 90 или 270°. В этом случае ось вращения Земли и прямая, соединяющая Землю и Солнце, лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости эклиптики. Вследствие того, что сила притяжения Солнца (на рис. 6 Солнце находится в точке летнего солнцестояния), действующая на более близкую к нему часть экваториального утолщения Земли, больше, чем сила, действующая на более далекую часть, их равнодействующая проходит не через центр Земли, а через более близкую к Солнцу точку А (см. рис. 6). Если приложить к центру Земли две силы F и F₂ в отдельности равные силе F₁ направленные одна к Солнцу, другая - от него, то сила F будет только удерживать Землю на ее орбите (вдобавок к притяжению Солнца) и никакого вращения не вызовет. Силы F₁ и F₂ образуют пару. Эта пара будет поворачивать Землю около прямой Oν - прямой пересечения плоскостей экватора и эклиптики, стремясь совместить плоскость экватора с плоскостью эклиптики. Угловая скорость вращения (вектор ω₂) будет направлена по оси Oν в сторону точки весеннего равноденствия. Действие пары (F₁, F₂), смещая ось вращения Земли в одном направлении, в конечном итоге привело бы к тому, что плоскость экватора совместилась с плоскостью эклиптики, если бы Земля не вращалась вокруг своей оси ОР с угловой скоростью ω, направленной по этой оси. Как известно, угловые скорости складываются по правилу сложения векторов.

Рис. 6. Действие силы притяжения Солнца на Землю, когда Солнце находится в точке летнего солнцестояния

В нашем случае от сложения вектора ω₂, направленного в точку весеннего равноденствия, т. е. перпендикулярно плоскости чертежа, с вектором ω, направленным по оси вращения в точку Р, получится новый вектор ω₁ как диагональ параллелограмма, построенного на первых двух векторах. Этот новый вектор ω₁ уже не будет лежать в плоскости меридиана действия пары (в плоскости чертежа), а будет выше, над ней. Иначе говоря, ось вращения Земли выйдет из плоскости чертежа, став над нею. Она сместится относительно неподвижной оси, направленной в полюс эклиптики, по конической поверхности с вершиной конуса в центре Земли.

Рассмотрим промежуточные положения Солнца на эклиптике, когда его долготы отличаются от долгот равноденствий и солнцестояний.

Рис. 7. Действие силы притяжения Солнца на Землю, когда долгота Солнца равна 45°

При долготе Солнца, например, 45° момент m пары, лежащей в плоскости меридиана Земли, перпендикулярный этой плоскости, можно разложить по правилу параллелограмма на два момента: m_γ и m_β (рис. 7). Один из них будет направлен в точку весеннего равноденствия, и соответствующая этому моменту пара будет лежать в плоскости колюра солнцестояний; другой направится в точку В, а соответствующая ему пара расположится в плоскости колюра равноденствий; эта пара повернет ось вращения Земли к точке осеннего равноденствия.

При долготе Солнца 135° действие первой пары, имеющей момент m_γ, будет влиять на Землю так же, как и при долготе 45°. Вторая пара, имеющая момент m_β произведет действие обратное (чем при долготе 45°), т. е. повернет ось вращения Земли к точке весеннего равноденствия.

Таким образом, в любом положении Солнца на эклиптике создаваемую им пару сил можно разложить на две пары, причем одна из них, лежащая в плоскости солнцестояний, будет всегда поворачивать Землю около прямой, направленной в точку весеннего равноденствия против часовой стрелки. Другая пара, лежащая в плоскости равноденствий, меняет свое направление вращения в зависимости от положения Солнца на эклиптике, смещая ось вращения Земли периодически то в сторону осеннего, то в сторону весеннего равноденствий. Нетрудно сообразить, что величина пары сил, создаваемая Солнцем, зависит от положения Солнца на эклиптике, иначе говоря,- от его долготы и склонения.

Луна находится ближе к Земле и влияет на нее сильнее, чем Солнце, создавая другую пару, которая стремится совместить плоскость земного экватора с плоскостью лунной орбиты. Но движение Луны значительно сложнее движения Солнца, так как Луна движется по орбите, наклоненной на 5°9' к эклиптике. Кроме того, точки пересечения эклиптики и орбиты Луны (узлы) движутся в сторону, обратную движению Луны, с периодом около 18,6 года, что очень усложняет движение последней.

Так как пара сил, создаваемая Луной, действует аналогично паре (F₁, F₂), создаваемой притяжением Солнца, то ее также можно разложить на две пары: одна - в плоскости колюра солнцестояний, другая - в плоскости колюра равноденствий.

Поэтому в каждый момент времени в плоскости колюра солнцестояний будут две возмущающие пары: от Солнца и Луны. Обе они действуют против часовой стрелки, вращая Землю около оси, направленной в точку весеннего равноденствия. Это вращение, складываясь с собственным суточным вращением Земли, создает новый вектор угловой скорости и, следовательно, новую ось вращения, которая сместится к точке весеннего равноденствия. Вследствие непрерывного суммарного действия двух пар ось вращения Земли станет медленно смещаться около неподвижной оси, как уже об этом говорилось ранее, направленной в полюс эклиптики, являясь образующей конической поверхности с вершиной конуса в центре Земли. Если эту картину перенести на небесную сферу, то северный полюс мира будет двигаться вокруг полюса эклиптики, который можно считать неподвижным среди звезд. Это движение происходит по малому кругу со сферическим радиусом 23°27' приблизительно с постоянной скоростью 20" в год. Так как вектор смещения полюса направлен в точку весеннего равноденствия, то последняя непрерывно отступает (смещается) по эклиптике навстречу годичному движению Солнца со скоростью 20"/sin 23°27' = 50",371 в год. Это движение точки весеннего равноденствия по эклиптике навстречу Солнцу называется лунно-солнечной прецессией (предварение равноденствий).

В плоскости колюра равноденствий также образуются две пары сил: от Луны и от Солнца. Они не действуют все время в одном направлении, а меняют направление вращения в зависимости от положения Солнца на эклиптике и Луны на ее орбите. Поэтому в этой плоскости (плоскости колюра равноденствий) возникнет не прогрессивное движение оси вращения Земли, а колебательно-периодическое, с различными периодами. Так, например, движение Солнца по эклиптике вызовет годичный и полугодичный периоды в колебании земной оси, движение Луны - период 18,6 года, соответствующий движению лунных узлов по эклиптике, с месячным и более мелкими колебаниями. Это периодическое движение оси вращения Земли в плоскости колюра равноденствий, перпендикулярное прогрессивному движению полюса (прецессии), называется нутацией земной оси.

Подытоживая вышеизложенное, можно сделать следующее заключение.

Совокупное действие притяжения Солнца и Лупы на сплюснутую Землю смещает полюс мира вокруг полюса эклиптики по сложной кривой. Методически это сложное движение и разделяется на два более простых: вековое - прецессионное и периодическое - нутационное.

Вековое движение полюса имеет период, равный 360×60×60"/50",371 = 25 729 лет, где в числителе - число секунд в окружности (1 296 000"), в знаменателе - годичный путь точки весеннего равноденствия по эклиптике. На это вековое движение накладываются колебания с периодами, равными перемещению Солнца по эклиптике (тропический год), половине года, перемещению лунных узлов по эклиптике (18,6 года), половине лунного месяца (13,7 суток) и другими, более мелкими.

Полюс мира, обладающий только вековым - прецессионным - движением, называется средним полюсом мира Р₀.

Небесный экватор, соответствующий среднему полюсу мира, будет средним экватором данного момента. Точка весеннего равноденствия, соответствующая положению среднего экватора, является средней точкой весеннего равноденствия в этот момент.

Полюс мира, обладающий не только вековым (прецессионным), но и периодическим (нутационным) движением, называется истинным полюсом мира Р. Небесный экватор и точка весеннего равноденствия, соответствующие положению истинного полюса в заданный момент, будут истинным экватором и истинной точкой весеннего равноденствия в этот момент.

Рис. 8. Движение полюса эклиптики П в пространстве

В нутационном относительном движении истинный полюс мира движется около среднего по сложной кривой эллиптического вида, направление большой оси которой проходит через полюс эклиптики. Вследствие векового движения среднего полюса мира средняя точка весеннего равноденствия ₀ прогрессивным движением с почти постоянной скоростью смещается по эклиптике навстречу годичному движению Солнца. В результате периодического движения истинного полюса мира истинная точка весеннего равноденствия колеблется около средней с различными периодами, главнейший из которых 18,6 года.

Силы, действующие на Землю и Луну со стороны планет солнечной системы, возмущают движение центра масс системы Земля + Луна и, следовательно, смещают плоскость эклиптики и ее полюс.

Приближенно движение северного полюса эклиптики происходит следующим образом. Полюс эклиптики П движется со скоростью 0",47 в год (рис. 8) по дуге большого круга под углом 7° к ПР, проведенной через полюс мира и полюс эклиптики. Вследствие смещения эклиптики от возмущений планет смещается по эклиптике и точка весеннего равноденствия в сторону движения Солнца.

Таким образом, полное смещение точки весеннего равноденствия по эклиптике равно р - λ' cos ε, где р - лунно-солнечная прецессия в долготе и λ' - прецессия от планет, равная 0",13 в год.