§ 10.2 Анализ математической основы карт

При анализе математической основы карты, т. е. ее масштаба,, проекции и координатных сеток, компоновки и системы разграфки (а для топографических карт также системы координат и геодезической опоры), во многих случаях особенно важно установить целесообразность принятого масштаба. Для этого надо выяснить, насколько данный масштаб удовлетворяет требованиям, вытекающим из назначения карты, в отношении ее точности, полноты и подробности содержания, а также крупности картографического изображения.

Обратимся к связи между масштабом и возможной точностью определения по карте координат и расстояний. Точность топографических карт и планов СССР обусловлена нормативными документами (§ 8.2), по которым средние ошибки в положении на картах и планах предметов и твердых контуров относительно ближайших опорных пунктов не должны превышать 0,5 мм, а в горных и пустынных районах - 0,75 мм, причем в качестве предельных ошибок принимаются удвоенные значения средних. Это значит, что средние ошибки m_k и m_d в координатах отдельных точек и расстояниях между ними, определенных по картам, для равнинных территорий будут равны:

(10.1)

и

(10.2)

откуда

(10.3)

где N - знаменатель численного масштаба (Теоретически величина ошибки не зависит от длины измеряемого отрезка, но при пользовании печатными оттисками фактическая ошибка может возрастать с увеличением измеряемых длин вследствие деформации бумаги.). Формула (10.3) позволяет находить наименьший масштаб, обеспечивающий необходимую точность. Например, если средняя ошибка в определении по карте координат твердых контуров не должна превосходить ±100 м, то N =200 000. Следовательно, карта масштаба 1:200 000 (и крупнее) удовлетворяет поставленному условию.

Установим теперь связь между масштабом карты и точностью определения по ней площадей, часто обусловливаемой средней относительной ошибкой измерения площади т_р, выраженной в процентах:

(10.4)

Положим для простоты рассуждения, что измеряемая на карте площадь р близка к квадрату и что средняя ошибка в положении стороны квадрата соответствует средней ошибке m_k в положении твердых контуров. Нетрудно сообразить, что тогда

(10.5)

и

(10.6)

Величины т_р% , вычисленные для участков различной площади при m_k=±0,5 мм=±0,05 см, показаны в табл. 10.1. Поскольку

(10.7)

где Р - площадь на местности, формула (10.6) примет вид

(10.8)

откуда

(10.9)

Таблица 10.1. Средние относительные ошибки определения площадей (в %)

Например, если необходимо измерять площади в 25 км² и более со средней ошибкой, не превосходящей 2%, то N равно 100 000, т. е. для этой цели пригодны карты 1:100 000 и крупнее. При этом не учитываются ошибки измерения площади, так как при используемых в современной картометрии способах они примерно на порядок меньше собственных ошибок карты. В частности, при электронном пантографировании относительная ошибка определения площади падает до 0,3%.

Таким образом, чтобы оценить, насколько масштаб карты соответствует требованиям точности, надо установить эти требования и выяснить, как они удовлетворяются при данном масштабе.

При анализе соответствия масштаба карты требованиям полноты исследуют возможность карты вместить необходимое содержание при

сохранении его достаточно хорошего восприятия. Для этого надо знать густоту q картографируемых явлений в натуре и установить целесообразную нагрузку карты п₀. Для объектов, локализованных по пунктам, удобно выражать густоту объектов в натуре их числом на 100 км² местности, а нагрузку - числом объектов на 100 см² карты. Но при именованном масштабе М, выраженном числом километров в 1 см, 100 см² карты соответствуют 100 М² км² местности и, следовательно,

(10.10)

или

(10.11)

Таким образом, для исчерпывающего нанесения населенных пунктов при нагрузке п₀, например равной 100 (100 пунктов на 1 дм² карты) и при густоте q, например равной 16 и 4 поселениям (в среднем на 100 км²), достаточны масштабы в первом случае 1:250000, во втором - 1:500 000.

Вместе с тем отношение n=M²q позволяет легко определить п - нагрузку, приходящуюся на 1 дм² карты масштаба М при любых значениях густоты q. Например, при густоте 16 и 4 исчерпывающий показ пунктов на карте масштаба 10 км в 1 см потребовал бы нанесения в 1 дм² карты соответственно 1600 и 400 пунктов. Поэтому в указанном примере при ограничении нагрузки карты 100 пунктами на 1 дм² возможно сохранить в масштабе 1:1 000 000 лишь 1/16 и 1/4 от общего количества пунктов.

При анализе полноты карты в отношении линейных объектов можно прибегать также к сравнению общей (суммарной) длины этих объектов на карте с их общей длиной в натуре (при переводе последней величины в масштаб карты).

Поскольку прямые и полные подсчеты величин, необходимых для анализа, требуют значительного времени, следует прибегать к выборочным подсчетам, пользуясь упрощенными приемами.

Способы выполнения выборочных подсчетов, обеспечивающих желательную точность, рассматриваются в математической статистике, а упрощенные измерения - в картометрии. Например, показывается, что общая длина дорожной сети Σl см в пределах какого-либо участка карты, скажем в дециметровом квадрате, может быть приближенно определена по формуле

(10.12)

где L см - длина внешнего контура (в данном случае 40 см), а п - число замкнутых звеньев (контуров) дорожной сети в пределах этого участка. Таким образом, все измерения ограничены подсчетом количества звеньев.

Для приближенного определения суммарной длины Σl линий гидрографической сети удобно использовать прозрачную палетку с параллельными прямыми, проведенными при постоянном интервале k (3- 5 мм); после наложения палетки на карту подсчитывают число п всех пересечений ее линий с линиями гидрографической сети. Тогда

(10.13)

Такой подсчет следует выполнять дважды при двух перпендикулярных положениях палетки.

Ответ на вопрос, насколько масштаб карты обеспечивает необходимую крупность изображения определенных объектов, легко найти, когда известны требования, вытекающие из назначения карты и особенностей ее использования. Например, имеется необходимость выделения по топографической карте сельскохозяйственных угодий с минимальной площадью в 1 га. Пусть далее установлено, что принятые условные обозначения обеспечивают достаточную четкость изображения, когда размер минимального участка на карте не спускается ниже 16 мм² (4X4 мм). Отсюда следует, что 4 мм на карте должны равняться 100 м на местности, т. е. поставленным условиям удовлетворяет масштаб 1:25 000.

В общем виде формула для определения искомого масштаба записывается так:

(10.14)

где N - знаменатель численного масштаба карты, Р - минимальный выдел в натуре (в км²), а р - соответствующий ему минимальный контур на карте (в см²).

Если заданная крупность изображения отдельных объектов может требовать увеличения масштаба, то необходимость полного изображения какой-либо территории (страны, области и т. п.) на одном листе и удобство пользования картой может побуждать к уменьшению ее масштаба. Например, в национальных атласах максимальный масштаб карт, изображающих страну в целом, функционально связан с форматом атласа.

При оценке целесообразности масштаба приходится учитывать также: соотношения масштаба исследуемой карты с масштабами родственных карт; технологические моменты, в частности экономичность использования картографической бумаги стандартных размеров и т. д.

Оценка масштаба применительно к требованиям точности, полноты и т. д. нередко приводит к несогласующимся заключениям. Поэтому в окончательном суждении о масштабе следует учитывать весь комплекс требований к карте и его отражение как в масштабе, так и в Других особенностях карты - в полноте содержания, геометрической точности и т. д., рассматриваемых в последующих параграфах (Пожелания потребителей об увеличении масштабов топографических карт нередко не связаны с требованием соответствующего повышения геометрической точности Им нужно лишь более крупное изображение, облегчающее пользование картой что можно получить простым фотоувеличением.). Вообще для топографических карт особенно существенно соответствие масштаба требованиям точности, а для карт обзорных - требованиям полноты и удобства работы с картой.

Анализ других математических элементов может различаться в зависимости от масштаба и вида карт. В отношении иностранных топографических карт основное внимание обращается на выяснение проекции, системы координат и особенностей координатных сеток. Эти сведения необходимы при использовании топографических карт в качестве картосоставительских источников (когда может возникнуть необходимость в вычислении и введении поправок для перехода к математической основе, принятой для составляемой карты) или при картометрических измерениях, правильность которых зависит от учета систематических погрешностей, обусловливаемых различиями в математической основе карт.

Для мелкомасштабных карт приобретает существенное значение анализ проекции и компоновки. В проекции учитываются характер и величина искажений, особенности их распределения, целесообразность проекции в географическом отношении и удобство использования в связи с назначением карты. На картах, привлекаемых для измерения углов и расстояний (в навигации, метеорологии, инженерном деле и т. д.), необходимы равноугольные проекции, но, если требуется учет площадей (например, на экономических картах), обращаются к проекциям равновеликим. Для многоцелевых научно-справочных карт нередко используют проекции промежуточные по их свойствам.

Весьма различны подходы к оценке величины искажений. Часто ограничиваются требованием, чтобы искажения были визуально неощутимы. Например, в этом смысле говорят о проекциях зрительно равновеликих, относя к ним проекции с искажениями площадей, не превосходящими 5%. В других случаях придают большое значение малости искажений на тех частях карты, где сосредоточено ее основное содержание, и допускают чувствительные искажения на остальном пространстве (например, в приполярной зоне на карте земледелия мира). Иногда приходится мириться с весьма большими искажениями, если проекция удобна для решения определенных задач. Классический пример - использование проекции Меркатора на морских навигационных картах.

Географическая целесообразность проекции предусматривает ее выбор с учетом темы и содержания карты. Хороший образец географического подхода дал БСАМ, в котором для карт мира применены две проекции: цилиндрическая стереографическая проекция Голла и псевдоцилиндрическая равновеликая проекция Эккерта, построенная с разрывами по океанам. Первая проекция с большими искажениями, но дающая непрерывное изображение планеты, использована для карт, содержание которых распространяется и на материки, и на океаны (карты магнетизма и др.). Вторая проекция, на которой лучшее изображение материков достигнуто ценой потери целостности океанов, употреблена для карт населения, промышленности и т. п., на которых содержание локализовано на суше.