§ 2.4 О выборе проекций. Некоторые общеупотребительные проекции для карт мира, полушарий, материков и советского союза. Проекции топографических карт

На выбор проекции для конкретной карты влияет ряд факторов, в первую очередь назначение карты (требования потребителей) и пространственные особенности территории.

Прежде всего, исходя из назначения карты, устанавливают предпочтительный характер искажений. Карты, используемые для измерения азимутов и углов, целесообразно строить в равноугольных проекциях. Например, для морских навигационных карт применяют цилиндрическую проекцию Меркатора, в которой линия, пересекающая меридианы на эллипсоиде под одним и тем же углом (так называемая локсодромия), изображается прямой: судно, которое держит определенный курс (азимут), движется по локсодромии. Опыт показывает, что равноугольные проекции удовлетворяют запросы многих потребителей. Однако при необходимости производить по картам измерения или сравнение площадей (что, например, существенно для некоторых экономических карт) обращаются к проекциям равновеликим. Когда чрезмерные искажения углов и площадей одинаково нежелательны (например, на картах полушарий), берут одну из произвольных проекций.

Учет пространственных факторов, т. е. размеров, формы и положения картографируемой территории, позволяет найти в избранной группе проекций (равноугольных, равновеликих, произвольных) проекцию, обладающую наименьшими искажениями или их выгодным распределением, или другими ценными для карты свойствами.

Для карт мира широко использовались цилиндрические и псевдоцилиндрические проекции, имеющие сетки с прямолинейными и параллельными друг другу параллелями, что ценно при изучении явлений широтной зональности. В цилиндрических проекциях изображения повторяющихся территорий (см. рис. 2.28) одинаковы. Чтобы уменьшить искажения в высоких широтах, можно строить проекцию на секущем Цилиндре.

Рис. 2.16. Картографическая сетка в косой равновеликой азимутальной проекции (Ламберта) с изоколами углов

Например, на многих картах Большого советского атласа мира (БСАМ) (см. § 8.8) была использована цилиндрическая проекция, сохраняющая главные масштабы по параллели 30^° Псевдоцилиндрические проекции (рис. 2.8) по сравнению с цилиндрическими дают в высоких широтах меньшие искажения площадей, но увеличивают искажения углов, что сказывается особенно неблагоприятно на изображениях повторяющихся территорий, например Северной и Южной Америки.

Теперь более употребительны поликонические проекции с малой кривизной параллелей, слабо возрастающей к полюсам, обладающие меньшими и уравновешенными искажениями углов и площадей Кривизна их меридианов и параллелей как бы отражает эллипсоидальность планеты.

Карты полушарий естественно строить в азимутальных проекциях. Ранее широко применялись равноугольная стереографическая проекция (см. рис. 2.14) и равновеликая Ламберта (см. рис. 2.15). Первой из них на краях полушария свойственны большие искажения площадей (р=4), второй - искажения углов (со=39^°). Поэтому в настоящее время для учебных карт предлагают произвольные азимутальные проекции, промежуточные по величине искажения (В экваториальной азимутальной проекции, предложенной Г. А. Гинзбургом, на краях полушария р= 1,22, ω = 29^°6.).

Для карт отдельных материков (Европы, Азии, Северной Америки, Южной Америки, Австралии с Океанией) применяют преимущественно равновеликую косую азимутальную проекцию Ламберта с точкой нулевых искажений в центре изображаемого материка.

Рис. 2.17. Картографическая сетка для карт СССР в равнопромежуточной конической проекции В. В. Каврайского; параллели сечения 47 и 62sup°/sup с. ш. утолщены

Для Африки косая проекция заменяется экваториальной. В азимутальной проекции искажения нарастают по мере удаления от центра проекции и потому достигают наибольшей величины в углах прямоугольной рамки карты. Так, на карте Азии в пределах материка угловые искажения достигают 15^° (рис. 2.16).

Карты СССР, изображающие страну в целом, составляются главным образом в нормальных конических проекциях, равнопромежу-точных по меридианам; разработанные В. В. Каврайским (рис. 2.17) и Ф. Н. Красовским, они не имеют принципиальных различий, но проекция Красовского дает несколько меньшие искажения для крайних северных районов СССР.

Нормальные конические проекции в применении для карт СССР не позволяют показать точку полюса и вследствие значительной кривизны параллелей как бы поднимают восточные и западные части СССР, что нарушает зрительное представление о широтных зонах. Эти недочеты, нежелательные для учебных карт, могут быть устранены при использовании других проекций, имеющих, однако, большие искажения по сравнению с коническими.

В частности, на картах СССР для начальной школы теперь используется произвольная проекция, симметричная относительно центрального меридиана 100^° в. д. В ней Северный полюс лежит в рамке карты, кривизна параллелей мала, но возрастают искажения углов и площадей. В частности, искажения площадей достигают на северо-востоке и северо-западе материковой части СССР 20-40% (рис 2 18) а искажения углов увеличиваются до 15-20^°.

Рис. 2.18. Картографическая сетка для карт СССР в произвольной проекции ЦНИИГАиК с изоколами площадей (на левой половине рисунка) и углов (справа)

В выборе проекций большую роль играет математический момент - величина искажений. Но этот признак не всегда решающий. Ярким примером этому служит использование для морских навигационных карт нормальной равноугольной цилиндрической проекции Меркатора (см. рис. 2.13). При сохранении главного масштаба на экваторе площади преувеличиваются на параллели 60^° в 4 раза, а на параллели 80^° - более чем в 30 раз. Но в этой проекции курсы корабля (локсодромии) изображаются прямыми линиями, а учет искажений длин, необходимый при определении пройденных расстояний, не вызывает затруднений.

В других случаях важно учитывать географические требования в отношении целостного изображения взаимосвязанных объектов (например, Атлантического океана совместно с Северным Ледовитым, рис. 2.19), наилучшего показа основных для темы карты пространств и т. п.

По мере уменьшения масштаба значение географических требований к выбору проекций возрастает. Напротив, для крупного и среднего масштабов на первый план выступает математический фактор; карты этих масштабов часто используются в инженерных и оборонных целях, вследствие чего измерения по ним должны отличаться простотой и давать результаты большой точности. Это возможно при практически неощутимых искажениях. Однако при изображении обширных территорий любая проекция дает крупные искажения. Выход был найден в первой половине XIX в., когда стали применять так называемые «многогранные проекции».

Как было сказано ранее, искажения возрастают по мере удаления от точек или линий, сохраняющих главный масштаб. В равноугольных проекциях искажения длин увеличиваются пропорционально квадрату этого удаления. В табл. 2.1 приводятся масштабы длин для расстояний 50, 100, 200 и 300 км от названных точек или линий равноугольных проекций. Из этого можно сделать вывод, что при картографировании ограниченного пространства практически можно не учитывать искажений длин и считать в этом смысле различные равноугольные проекции равноценными. Это значит, что при создании карт на большую территорию можно ограничить искажения пренебрегаемыми величинами, если изображать ее по частям. Для этого есть разные пути. Первоначально прибегали к замене земного эллипсоида многогранником, вписанным в эллипсоид (или описанным около него). Отдельные грани соответствуют трапециям эллипсоида, изображаемым на отдельных листах карты данного масштаба.

Рис. 2.19. Совместное изображение Атлантического и Северного Ледовитого океанов

При крупных масштабах, когда один лист карты покрывает незначительную территорию, каждую грань многогранника можно считать совпадающей с поверхностью эллипсоида, т. е. принять поверхность эллипсоида плоской в пределах каждой грани.

Таблица 2.1. Масштабы длин в равноугольных проекциях

(Масштабы длин в конической проекции зависят от широты параллели с нулевыми искажениями.)

В этом случае изображение практически свободно от искажения; но если развернуть поверхность многогранника на плоскость (рис. 2.20), то между отдельными гранями (листами карты) образуются разрывы.

Рис. 2.20. Разрывы при соединении по рамкам листов карты, построенной в многогранной проекции

Листы карт не могут быть сведены в одно целое.

Рис. 2.21. Многополосное построение - изображение двуугольников земного эллипсоида в поперечной цилиндрической равноугольной проекции Гаусса

Искажения исключаются за счет потери непрерывности изображения. Просветы увеличиваются постепенно; при соединении четырех и даже девяти листов крупномасштабной карты ими можно практически пренебречь, но при большом количестве листов работа с картой затруднена.

Поэтому после первой мировой войны во многих странах стали постепенно вводить для топографических карт равноугольную поперечно - цилиндрическую проекцию, хорошо изображающую части земной поверхности, вытянутые вдоль меридианов. При ее применении поверхность эллипсоида разделяется меридианами на зоны, каждая из которых изображается на плоскости самостоятельно (рис. 2.21). Таким образом, «многогранная проекция» заменена «многополосной». В СССР эту проекцию называют проекцией Гаусса, а за рубежом, когда ее вычисляют несколько другим путем, она известна как поперечная проекция Меркатора (на осевом меридиане зон μ=1, международное обозначение проекции ТМ) или универсальная проекция Меркатора (μ=0,99960, обозначение проекции ИТМ).

Рис. 2.22. Увеличение искажений длин в проекции Гаусса на разных расстояниях от среднего меридиана

Для топографических и обзорно-топографических карт масштабов 1 : 10 000-1 : 1 000 000 зоны, ограниченные меридианами, отстоящими друг от друга на 6^°, совпадают с колоннами листов миллионной карты. Искажения (преувеличение) длин линий на краях плоского изображения таких зон в проекции Гаусса составляют 0,000 9, 0,000 6, 0,000 4 и 0,000 3 соответственно на параллелях 40, 50, 60 и 70^°, что позволяет не считаться с ними при практическом использовании топографических карт. Увеличение искажений по мере удаления от среднего меридиана показано на рис. 2.22. Для масштабов 1:2000-1:5000 ширина зон установлена в 3^°.

Многополосная проекция создает разрывы по краям зон, но позволяет соединить в одно целое листы внутри всей зоны и считать в пределах зоны масштаб практически постоянным.

Рис. 2.23. Картографическая сетка для карты мира в псевдоцилиндрической проекции с разрывами по океанам

Разрывы изображения могут использоваться также при построении проекций мировых карт, когда нет необходимости в целостном изображении океанов (например, на почвенной карте мира) или материков. В первом случае (рис. 2.23) каждый материк строится по своему среднему меридиану, что значительно улучшает изображение материков за счет разрезов (потери непрерывности изображения) на океанах.